Начать надо с того, что, не уточнив, в частности, что такое самолёт, обоснованного мнения по вопросу задачи составить невозможно. Почему – дальше понятно.
Надо задаться конкретным самолётом. Как здесь уже кто-то правильно отметил, самолёты – они разные бывают. Бывают самолёты вертикального взлёта. Ясно, что эта задача не про такой самолёт, а про обычный. Берём Boeing 737, который является самым массово производимым реактивным пассажирским самолётом за всю историю пассажирского авиастроения.
Взлетный вес 68100 кг. Сила тяги 10670*2 = 21340 кг. При расчётах шасси самолётов коэффициент трения покоя (иначе - сцепления) принимают равным 0,8. Сила сцепления колёс поверхностью, по которой катится Boeing 737 – 54480 кг, т.е. в два с половиной раза больше силы тяги турбин.
Вот теперь можно чётко сказать, почему пример с тележкой, влекомой лебёдкой или толкаемой гидроцилиндром не только не полезен для понимания задачи о самолёте, но даже вреден. Уводит в сторону. На что видимо и расчёт. И дело даже не в том, что тележка не собирается взлетать. Тележку-то лебёдка, действительно, независимо от состояния колёс волочить будет. Даже если тележку на куски дубовых поленьев вместо колёс поставить. Как обеденный стол. А самолёту до таких возможностей, как видим, далеко.
Сейчас хочу, абстрагируясь от «задачной» системы управления транспортёром, выяснить, а может ли вообще транспортер, движущийся с ускорением, каким-то образом воздействовать на опирающееся на него свободно вращающееся колесо. И каковы здесь зависимости.
В первую очередь хочется прикинуть предельную величину ускорения транспортёра, при которой ещё можно считать, что задача остаётся в рамках реальности.
Ничто не мешает построить цепной транспортёр, состоящий из токопроводящих траков, а под ним (и, где можно над ним) расположить электромагниты линейного электродвигателя. 45000 G как в http://rnd.cnews.ru/army/news/top/index_science.shtml?2008/02/01/286219
не получим (это экстремум), но до тысяч тридцати можно и дотянуться, затратив денег огромно.
Можно уже посмотреть на задачу другими глазами.
А заодно и определённо взглянуть и на заявления о том, что смоделирована, дескать, задача в реале. Ага... Нет, 30000 G нам для достижения результата не понадобится. Но всё-таки понадобится много. Это мы дальше посчитаем.
Не раз заговаривал я о моменте инерции колёс. Далее напишем немного формул и посчитаем.
Но сначала вспомним детство, вспомним свойства нашего двухколёсного любимца – велосипеда. Иногда, после неудачного падения или столкновения с препятствием на колёсах появлялась «восьмёрка». Средства исправления: коленка, руки, ниппельный ключик для спиц и мел. Велосипед перевернуть «вверх ногами». Колесо (а это, как правило, переднее колесо) надо раскрутить. Потом медленно подводить мелок к вращающемуся колесу, отмечая «выпуклости». Раскрутить колесо надо до большой скорости. Иначе первое же касание мелка его остановит. Раскрутка нажатием на спицы. Колесо очень ощутимо сопротивляется раскручиванию. Это проявляется момент инерции. Момент инерции - та же по смыслу характеристика физического тела, как и масса, которая есть мера инертности тела. Но масса – это для прямолинейного движения, а момент инерции для вращательного. У кого-нибудь есть сомнения в том, что если бы велосипед стоял рулём и седлом не на полу, а на легко катящейся тележке, то усилием, которое мы прилагаем к спице, мы не только придали бы вращательное движение колесу, но придали бы поступательное движение велосипеду и тележке, которая под ним? Если сомнения есть, готов пояснять физику этого процесса, но лучше просто проделать опыт в натуре. Обратите внимание: мы прикладываем тангенциальные усилия к не заторможенному, но к «свободно вращающемуся» колесу. А оно «упирается», да так хорошо, что и велосипед с тележкой катится.
Вот это и есть аналогия самолёта на транспортере. На транспортёре, движущемся с ускорением. Ускорением, немало превышающим возможные собственные ускорения самолёта. Понятно, что нахождение велосипеда «вверх ногами», а самолёта «вниз ногами» не имеет значения для аналогии. Воздействуя на спицу колеса пальцем т.е. силой направленной перпендикулярно радиусу колеса (и параллельно или почти параллельно поверхности, на которой велосипед) мы приводим колесо в ускоренное вращательное движение, но эта же сила действует «поступательно» на весь велосипед в целом. Ускоренно движущийся транспортёр действует силой, приложенной касательно к протектору колеса самолёта, приводит колесо во вращательное ускоренное движение. Но эта сила действует на весь самолет противоположно силе тяги турбин.
Чем за меньшее время мы хотим раскрутить колесо велосипеда (т.е. разгонять его с бОльшим ускорением), тем с бОльшей силой мы должны давить на спицы.
Для прямолинейного движения сила, служащая причиной разгона, движения с ускорением определяется как произведение массы на ускорение.
F=m*аПолучается, что разгон даже с небольшим ускорением большой массы требует большой силы. Масса Боинга 737 – 68,1 тонны. Потому и сила для разгона нужна большая 21,34 тонны – тяга пары его турбин… И кажется, что для разгона малой массы сила нужна маленькая. К примеру, Вы дома возле открытого холодильника швыряете в его нутро принесённый литровый пакет молока. Разве Вы прилагаете при этом к пакету какие-то дополнительные усилия по сравнению с его весом? Практически нет. Ведь его масса всего килограмм!.. И уже видны колёса самолёта. На хороших подшипниках. Да их ведь наверняка ребёнок крутнуть может! А у Боинга 21,34 тонны сила тяги! О чём тут разговаривать?!.. Вот и вся немудрящая «школьная физика», в которой физики, на самом деле, нет совсем.
Возвращаемся к пакету молока. Вернее, к массе 1 кг. Электромагнитные пушки (иначе «рейлганы» по ссылке выше), с которыми экспериментируют по заказу Пентагона, разгоняют снаряды разной массы: от 16 граммов до трех с небольшим килограммов. Берём 1 кг. При ускорении 45000 G этот «пакет молока» сопротивляется разгону силой 45 тонн. И не за счёт трения о канал. А по второму закону Ньютона, согласно которому «масса есть мера инертности». И «рейлгану» именно такую силу приходится к снаряду электромагнитно прикладывать. По третьему закону Ньютона. Тут и двойного комплекта боинговских турбин маловато. Для разгона одного килограмма.
Колесо самолёта можно, без больших погрешностей, в системе отсчёта самолёта считать диском закреплённым на оси и вращающимся на ней. Для описания движения введём обозначения.
F – линейная cила, которую прикладывает движущийся с ускорением транспортер к протектору самолётного колеса, сила касательная и направленная против силы тяги турбин.
M – момент силы - величина входящая в формулу ускоренного вращательного движения в том же качестве, в каком в формулу прямолинейного ускоренного движения входит линейная сила.
J – момент инерции – величина, входящая в формулу ускоренного вращательного движения в том же качестве, в каком в формулу прямолинейного ускоренного движения входит масса.
w – угловая скорость вращения.
w’ – угловое ускорение
v – скорость транспортёра в конкретный момент времени. Это же – линейная скорость точки на протекторе колеса, контачащей с транспортёром, в системе отсчёта самолёта.
a – ускорение транспортёра. Это же линейное ускорение точки на протекторе колеса, контачащей с транспортёром, в системе отсчёта самолёта.
mк – масса колеса
mС – масса самолёта
r – радиус колеса (1/2 диаметра самолётного колеса)
Зависимости
Момент силы (вращающее воздействие транспортёра на колесо самолёта)
M=F*rУгловое ускорение (колеса самолёта)
w’=M/JМомент инерции диска (геометрического диска, в наше случае - самолётного колеса)
J=0,5*mк*r2 (эта формула для диска, из справочника)
Линейное ускорение точки на протекторе (оно же ускорение транспортёра) через угловое ускорение вращения колеса
a=r*w’=r*M/J=r*F*r/JF=a*J/r2 =а*0,5*mк Словами: сила, которой ускоренно движущийся транспортёр действует на протектор колеса (а значит, на самолёт) в направлении, противоположном направлению тяги турбин равна ускорению транспортёра, умноженному на ½ массы колёс самолёта.
Возвращаемся к реальному Боингу. У Боинга-737 3 стойки, каждая о двух колесах. Итого 6 колёс.
Из руководства по обслуживанию авиационных шин http://www.goodyearaviation.com/resources/pdf/aircraftmanual_ru.pdf берём типовое соотношение нагрузки на шину и её собственного веса. Это соотношение равно 244. Для Боинга 737 нагрузка на шину 11350 кг. Стало быть, шина весит 46,5 кг. Вес колёсного диска (по ТУ 38.00440-77 «Авиаколёса») примерно 50% от веса шины. Итого одно колесо Боинга-737 весит примерно 70 кг. Определяем, с каким ускорением должен двигаться транспортёр, чтобы сила его действия на колёса была равна силе тяги турбин
a=2*F/(6*mк)=2*21340/(6*70)=102 G (примерно)
Всего делов-то. А мы к 30000 G готовились.
Для общего кругозора определим, а с каким ускорением сам Боинг-737 двигается
a=F/mС=21340/68100=0,313 G = 3,1 м/сек2 Не густо. У какого-нибудь «злого», спортивной наклонности легкового автомобиля на половину больше.
Прикинем, что по времени получается. Есть рекомендация какого-то международного органа по авиационной безопасности о вращении авиационных колёс. Напрягаться в её поиске не будем. Не ошибёмся, если предположим, что колёса Боинга-730 не должны огорчаться при скорости 500-600 км/час. Мелькали сообщения о том, что экипаж на автомобильном ходу превысил скорость звука. Уместно предположить, что шины Боинга-737, по примеру стальных грузоподъёмных канатов, имеют шестикратный запас прочности. Тогда колёса разрушатся при скорости 3000 км/час.(833 м/сек).
Транспортёр может удерживать самолёт на месте
t=833/(102*9,8) Получаем примерно одну секунду. Потом УСЛОВИЯ задачи ПЕРЕСТАНУТ ВЫПОЛНЯТЬСЯ: у нас уже НЕ БУДЕТ САМОЛЁТА, как аппарата, способного взлететь. (В начале полемики чутьё меня относительно времени не обмануло).
Вот теперь можно обратиться к условию, установленному задачей для работы транспортёра и его системы управления. Что сие условие означает?
А почему раньше было нельзя обратиться?
А потому, что с точки зрения апологетов «самолёт взлетит», тех, которые достигли «вершины мудрости школьной физики», которым «видны колёса самолёта. На хороших подшипниках. Да их ведь наверняка ребёнок крутнуть может! А у Боинга сила тяги 21,34 тонны! О чём тут разговаривать?!», задача выглядит так:
- «Самолёт (реактивный или винтовой) стоит на взлётной полосе с подвижным покрытием (типа транспортёра). Покрытие может двигаться против направления взлета самолёта...», а дальше написана какая-то фигня, обдумывать которую трудно и нет никакого смысла обдумывать, которая есть на самом деле просто шутка, розыгрыш, потому что видны колёса самолёта. На хороших подшипниках. Да их ведь наверняка ребёнок крутнуть может! А у Боинга 21,34 тонны сила тяги! О чём тут разговаривать?!.. А ежели спросит кто, как, дескать, фигню про управление транспортёром понимаешь, то процитировать, что в задаче написано, и делу конец.
Давайте всё ж попробуем подумать.
Опишем движение колеса по транспортёру. Внимание уделим скорости движения колеса (центра колеса) относительно поверхности Земли, которая есть также и скорость относительно воздуха, если воздух неподвижен относительно поверхности Земли. И понятно почему.
Доп обозначения
Vк – скорость колеса относительно поверхности, по которой оно катится. В нашем случае это скорость самолёта относительно поверхности транспортёра
Vкз – скорость колеса относительно поверхности земли. В нашем случае это скорость самолёта относительно поверхности земли
Зависимости
vк=w*rVкз= vк-v= w*r-vУравнение «стояния» колеса «на месте» (относительно земли) при качении колеса и движении транспортёра.
w*r-v=0Читаем вновь условие задачи
«Покрытие может двигаться против направления взлета самолёта. Оно имеет систему управления, которая отслеживает и подстраивает скорость движения полотна таким образом, чтобы скорость вращения колёс самолёта была равна скорости движения полотна. Вопрос: сможет ли самолёт взлететь в таких условиях?»
«которая отслеживает и подстраивает СКОРОСТЬ движения полотна таким образом, чтобы СКОРОСТЬ вращения колёс самолёта была равна СКОРОСТИ движения полотна»
Да, действительно, написано коряво. Видно, что поработала хреновая сестра таланта – краткость. Вариантов у нас два:
1. Посчитать, что в задачу вписано абсурдное условие: приравнены разнородные величины. В силу чего задача абсурдна и любые разговоры о том, взлетит самолёт или не взлетит в таких условиях, столь же абсурдны, а посему должны быть раз и навсегда прекращены.
2. Согласиться, что автор имел ввиду такое ПОДСТРАИВАНИЕ скорости движения полотна, при котором в условиях роста угловой скорости вращения колёс самолёта (надеюсь хоть этот рост возражений не вызовет
) скорость движения полотна изменяется адекватно. Т.е. таким образом, что постоянно выполняется уравнение стояния колеса (самолёта) на месте. И автор просто не дописал того, что можно легко и подразумевать вслед за ним. А полная точная формулировка такова:
«которая отслеживает и подстраивает СКОРОСТЬ движения полотна таким образом, чтобы СКОРОСТЬ вращения колёс, умноженная на радиус колеса самолёта, была равна СКОРОСТИ движения полотна».
Вот теперь сравниваются однородные величины. При выполнении такого условия выполняется уравнение стояния самолёта на месте. Пока транспортёр и его система управления справляются с возложенной на них задачей.
Хотя вообще-то не будет греха в том, чтобы поспорить о том, какое ПОДСТРАИВАНИЕ имел ввиду автор. Только без меня.
Теперь можно чуть-чуть обдумать конкретного Боинга. Но надо обратить внимание, что в процитированном отдельно условии задачи фигурантами выступают две СКОРОСТИ и не выступает ни одно СОСТОЯНИЯ ПОКОЯ.
Потому у нас нет другого выхода, кроме как рассматривать такое начало исполнения условия задачи, при котором в некое мгновение колёса самолёта уже вращаются с какой-то очень малой угловой скоростью, а скорость транспортёра равна этой очень малой угловой скорости, умноженной на радиус колеса самолёта. Т.е. выполняется условие стояния самолёта на месте.
w0*r-v0=0или
w0*r=v0 А далее вот что
Угловая скорость вращения колёс возросла в
к1 раз. Но система управления увеличила скорость транспортёра также в
к1 раз. Понятно, что и в этом случае уравнение стояния на месте выполняется. А если в
к2 раз? Тоже. А в
кn раз? Само собой.
И вдруг самолёт взлетел!
Он взлетел,… но он не взлетел. Читаем вновь задачу: «Вопрос: сможет ли самолёт взлететь В ТАКИХ условиях?». Он не взлетел В ТАКИХ (!) условиях. Мы уже определили, что означает «в таких условиях». Это означает, что
w*r-v=0А в момент отрыва Боинга 737 от транспортёра скорость Боинга-737 относительно воздуха равна 108 м/сек, т.е.
w*r-v=108Система управления «не шмогла», или транспортёр «не шмог» - не важно. Но взлёт самолёта произошёл ПРИ НЕВЫПОЛНЕНИИ условий заданной в топике задачи. Т.е. этот, взлетевший самолёт – фигурант какой-то другой задачи, а не той, которая предложена в топике. Какой? Да ясно, какой. Мы её уже читали. Ну, прочтём ещё раз:
- «Самолёт (реактивный или винтовой) стоит на взлётной полосе с подвижным покрытием (типа транспортёра). Покрытие может двигаться против направления взлета самолёта...», а дальше написана какая-то фигня, обдумывать которую трудно и нет никакого смысла обдумывать, которая есть на самом деле просто шутка, розыгрыш, потому что видны колёса самолёта. На хороших подшипниках. Да их ведь наверняка ребёнок крутнуть может! А у Боинга 21,34 тонны сила тяги! О чём тут разговаривать?!.. А ежели спросит кто, как, дескать, фигню про управление транспортёром понимаешь, то процитировать, что в задаче написано, и делу конец.
Надо бы ещё несколько слов об идеальном решении.
Что получится в реале при наличии транспортёра, способного к ускорению 102 G и реального Боинга-737 с его реальной силой тяги и реальными колёсами мы выяснили: через одну секунду после начала эксперимента выйдут из строя колёса, и у нас уже не будет самолёта, способного взлететь хотя бы с обычной ВВП. Т.е. ПРЕКРАТИТСЯ ВЫПОЛНЕНИЕ УСЛОВИЙ задачи. Произойдёт это при скорости движения транспортёра 3000 км/час.
А в идеале?
Я долго и безуспешно пытался выяснить, что идеализировать. Теперь попытаюсь идеализировать сам.
Нас подвели колёса. Вот только их и идеализируем. Пусть они имеют бесконечную прочность и допускают ЛЮБУЮ скорость вращения.
Теперь нас подведёт транспортёр. 102 G - это понятно. Это не много. Но у любого реального устройства есть предел по скорости. Пусть эта предельная скорость огромна, но она есть. А далее
wогром*r-vогром=108и самолёт взлетел, при НЕВЫПОЛНЕНИИ УСЛОВИЙ ЗАДАЧИ
А если и транспортёр?...
Ну, знаете ли, заниматься мистикой не могу. Могу лишь предположить, что транспортёр, движущийся со скоростью практически равной скорости света, заключает в себе энергию, которую все электростанции планеты Земля вырабатывают за 10 лет. По этой причине
wрелятив*r-vрелятив=108и самолёт взлетел, при НЕВЫПОЛНЕНИИ УСЛОВИЙ ЗАДАЧИ.
Так всё-таки взлетит самолёт или не взлетит?
Те, кому хочется, чтобы он взлетел, пусть считают, что он взлетит. Да насрать на условия задачи в конце концов.
Те, кому хочется, чтобы он не взлетел, могут зацепиться за ту одну секунду, в течение которой конкретный самолёт не может взлететь с в общем-то реального транспортёра по причине выполнения условий задачи.